Soal, Kunci Jawaban, dan Pembahasan Kompetisi Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2020

Download soal: Soal KSN-K Matematika SMA 2020

Download kunci jawaban:  Kunci Jawaban KSN-K Matematika 2020

Kompetisi Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA

Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten

Tahun 2020

Waktu: 120 menit

Kemampuan Dasar

Pada bagian ini setiap jawaban yang benar bernilai 2 poin dan setiap jawaban yang salah atau kosong bernilai nol.

1. Misalkan \(f(x)=\frac{3(x-1)(x-2)}{2}+\frac{(x-2)(x-3)}{2}-2(x-1)(x-3)\)

Nilai dari f(20) adalah ...

Pembahasan: 

\(f(20)=\frac{3(20-1)(20-2)}{2}+\frac{(20-2)(20-3)}{2}-2(20-1)(20-3)\)

\(f(20)=\frac{3(19)(18)}{2}+\frac{(18)(17)}{2}-2(19)(17)\)

\(f(20)=3(19)(9)+(9)(17)-2(19)(17)\)

\(f(20)=27(19)+(9)(17)-34(19)\)

\(f(20)=(27-34)(19)+(9)(17)\)

\(f(20)=(-7)(19)+(9)(17)\)

\(f(20)=(-7)(10+9)+(9)(10+7)\)

\(f(20)=(-7)(10)+(-7)(9)+(9)(10)+(9)(7)\)

\(f(20)=(-7)(10)+(9)(10)\)

\(f(20)=-70+90\)

\(f(20)=20\)

Kunci Jawaban: 20

2. Diberikan sebuah kubus besar berukuran \(3\times 3\times 3\) yang seluruh permukaannya dicat dengan warna merah. Kubus tersebut dipotong menjadi 27 kubus satuan (kubus berukuran \(1\times 1\times 1\). Diketahui bahwa Amir mengambil satu kubus kecil yang salah satu sisinya berwarna merah. Peluang kubus kecil yang diambil Amir memiliki tepat dua sisi berwarna merah adalah ...

Pembahasan:

upload gambar

terdiri 27 kubus kecil yang seluruh permukaannya dicat dengan warna merah

8 kubus bercat merah 3 sisi

12 kubus bercat merah 2 sisi

6 kubus bercat merah 1 sisi

1 kubus tidak bercat merah

amir mengambil satu kubus kecil yang salah satu sisinya berwarna merah maka n(S)=8+12+6=26

ada 12 kubus bercat 2 sisi maka n(A)=12

peluang kubus kecil yang diambil Amir memiliki tepat dua sisi berwarna merah adalah \(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{12}{26}=\frac{6}{13}\)

Kunci Jawaban: \(\frac{12}{26}\; atau\; \frac{6}{13}\)

3. Diberikan trapesium siku-siku seperti pada gambar di bawah ini.

Jika \(AB=1,\; BD=\sqrt{7},\; AD=CD\), maka luas trapesium tersebut adalah ...

Pembahasan: 

upload gambar

mencari nilai m gunakan perbandingan cosinus segitiga ABD dan segitiga BDC

\(cos\; \alpha= \)

\(\frac{(1)^{2}+(\sqrt{7})^{2}-(m)^{2}}{2(1)(\sqrt{7})}=\frac{m}{\sqrt{7}}\)

\(\frac{1+7-m^{2}}{2}=m\)

\(8-m^{2}=2m\)

\(m^{2}+2m-8=0\)

\((m-2)(m+4)=0\)

m=2 (Memenuhi ukuran panjang karena positif) 

atau 

m=-4 (Tidak Memenuhi ukuran panjang karena negatif)

jadi diperoleh m=2

mencari nilai n gunakan phytagoras pada segitiga BCD

\(m^{2}+n^{2}=(\sqrt{7})^{2}\)

\(2^{2}+n^{2}=7\)

\(n^{2}-3=0\)

\((n+\sqrt{3})(n-\sqrt{3})=0\)

\(n=-3\) (Tidak Memenuhi ukuran panjang karena negatif)

atau

\(n=\sqrt{3}\) (Memenuhi ukuran panjang karena positif) 

jadi diperoleh \(n=\sqrt{3}\)

luas trapesium \(=\frac{jumlah\: sisi\: sejajar}{2}\times tinggi\)

\(=\frac{1+m}{2}\times n\)

\(=\frac{1+2}{2}\times \sqrt{3}\)

\(=\frac{3}{2}\sqrt{3}\)

Kunci Jawaban: \(\frac{3}{2}\sqrt{3}\)

4. Misalkan x,y bilangan asli sehingga 2x+3y=2020. Nilai terbesar yang mungkin dari 3x+2y adalah ...

Pembahasan: 

\(2x+3y=2020\)

\(y=\frac{2020-2x}{3}\)

misal \(a=3x+2y\)

\(a=3x+2\left ( \frac{2020-2x}{3} \right )\)

\(a=\frac{4040+5x}{3}\)

agar a maksimum maka x harus maksimum

\(y\geq 1\)

\(\frac{2020-2x}{3}\geq 1\)

\(2020-2x\geq 3\)

\(-2x\geq -2017\)

\(x\leq 1008,5\)

pilih x bilangan asli terbesar dengan \(x\leq 1008,5\) sehingga memenuhi \(2x+3y=2020\) maka \(x=1007\)

\(a=\frac{4040+5x}{3}\)

\(a=\frac{4040+5(1007)}{3}\)

\(a=\frac{4040+5035}{3}\)

\(a=\frac{9075}{3}\)

\(a=3025\)

Kunci Jawaban: 3025

5. Suatu barisan bilangan real \(a_{1},a_{2},a_{3},...\) memenuhi \(a_{1}=1,\: a_{2}=\frac{3}{5}\), dan \(\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_{n-2}}\) untuk setiap \(n\geq 3\).

Bilangan \(a_{2020}\) dapat ditulis sebagai \(\frac{p}{q}\) dengan p dan q bilangan asli relatif prima.

Nilai p+q adalah ...

Pembahasan: 

\(\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_{n-2}}\)

\(\frac{1}{a_{n}}=\frac{2a_{n-2}-a_{n-1}}{a_{n-1}\times a_{n-2}}\)

\(a_{n}=\frac{a_{n-1}\times a_{n-2}}{2a_{n-2}-a_{n-1}}\)

dengan melihat polanya:

\(a_{1}=1=\frac{3}{3}\)

\(a_{2}=1=\frac{3}{5}\)

\(a_{3}=\frac{a_{3-1}\times a_{3-2}}{2a_{3-2}-a_{3-1}}=\frac{a_{2}\times a_{1}}{2a_{1}-a_{2}}=\frac{\frac{3}{5}\times 1}{2(1)-\frac{3}{5}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{7}{5}}=\frac{3}{7}\)

sehingga didapat polanya:

\(a_{n}=\frac{3}{2n+1}\) 

\(a_{2020}=\frac{3}{2(2020)+1}=\frac{3}{4041}=\frac{1}{1347}\)

\(a_{2020}=\frac{p}{q}\)

\(\frac{1}{1347}=\frac{p}{q}\)

jadi \(p+q=1+1347=1348\)

Kunci Jawaban: 1348

6. Diketahui S adalah himpunan semua titik (x,y) pada bidang Cartesius, dengan x,y bilangan bulat, \(0\leq x\leq 20\) dan \(0\leq y\leq 19\). Banyaknya cara memilih dua titik berbeda di S sehingga titik tengahnya juga ada di S adalah ...

Catatan: Dua titik P(a,b) dan Q(c,d) berbeda jika \(a\neq c\) atau \(b\neq d\). Pasangan titik (P,Q) dan (Q,P) dianggap sama.

Pembahasan: 

upload gambar

\(0\leq x\leq 20\) : x ganjil ada 10 angka dan x genap ada 11 angka

\(0\leq y\leq 19\) : x ganjil ada 10 angka dan x genap ada 10 angka

P(a,b) dan Q(c,d)

Titik tengah PQ adalah \(R(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})\)

\(\frac{a+c}{2}\) bulat jika a dan c memiliki paritas yang sama (sama-sama genap atau sama-sama ganjil)

\(\frac{b+d}{2}\) bulat jika b dan d memiliki paritas yang sama (sama-sama genap atau sama-sama ganjil)

Banyak cara pemilihan P dan Q berbeda di S sehungga titik tengahnya juga ada di S:

a,c genap dan b,d genap maka \(11\times 10=110\) cara

a,c genap dan b,d ganjil maka \(11\times 10=110\) cara

a,c ganjil dan b,d genap maka \(10\times 10=100\) cara

a,c ganjil dan b,d ganjil maka \(10\times 10=100\) cara

jadi banyak cara memilih dua tiitik berbeda di S sehungga titik tengahnya juga ada di S adalah:

\(_{110}C_{2}+_{110}C_{2}+_{100}C_{2}+_{100}C_{2}\)

\(=2(_{110}C_{2}+_{100}C_{2})\)

\(=2(\frac{110\times 109}{1\times 2}+\frac{100\times 99}{1\times 2})\)

\(=(110\times 109)+(100\times 99)\)

\(=11990+9900\)

\(=21890\) cara

Kunci Jawaban: \(\frac{(11^{2}+10^{2})(10^{2}+10^{2})-21\times 20}{2}\) atau \(2\begin{pmatrix}100\\2\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}110\\2\end{pmatrix}\) atau 21890

7. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi BC=3, CA=4, dan AB=5. Titik P terletak pada AB dan Q terletak AC sehingga AP=AQ dan garis PQ membagi segitiga ABC menjadi dua daerah dengan luas yang sama. Panjang segmen PQ adalah ...

Pembahasan:

upload gambar

\(\frac{luas\; \triangle APQ}{luas\; \triangle ABC}=\frac{1}{2}\)

menggunakan luas segitiga dengan sinus:

\(\frac{\frac{1}{2}\times n\times n\times sin\: \alpha }{\frac{1}{2}\times 4\times 5\times sin\: \alpha }=\frac{1}{2}\)

\(n^{2}=10\)

\(n=\sqrt{10}\)

dengan menggunakan aturan cosinus \(cos\: \alpha\):

\(\frac{n^{2}+n^{2}-x^{2}}{2n^{2}}=\frac{4}{5}\)

\(\frac{\sqrt{10}^{2}+\sqrt{10}^{2}-x^{2}}{2\times \sqrt{10}^{2}}=\frac{4}{5}\)

\(\frac{20-x^{2}}{20}=\frac{4}{5}\)

\(100-5x^{2}=80\)

\(x^{2}=4\)

\(x=2\)

sehingga panjang segmen PQ adalah 2

Kunci Jawaban: 2

8. Himpunan penyelesaian dari persamaan \(\left | x+1 \right |+\left | \frac{19}{x-1} \right |=\frac{20-x^{2}}{1-x}\)

adalah interval [a,b). Nilai dari b-a adalah ...

Pembahasan:

Kunci Jawaban: 2

9. Misalkan \(n\geq 2\) bilangan asli sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli a,n dengan a+b=n berlaku \(a^{2}+b^{2}\) merupakan bilangan prima. Hasil penjumlahan semua bilangan asli n semacam itu adalah ...

Pembahasan: 

Kunci Jawaban: 10

10. Suatu komite yang terdiri dari beberapa anggota hendak menghadiri 40 rapat. Diketahui bahwa setiap rapat dihadiri tepat 10 anggota komite dan setiap dua anggota menghadiri rapat bersama paling banyak satu kali. Banyaknya anggota komite terkecil yang mungkin adalah ...

Pembahasan:

Kunci Jawaban: 61

Kemampuan Lanjut

Pada bagian ini setiap jawaban yang benar bernilai 4 pon, jawaban kosong bernilai nol dan jawaban salah bernilai -1 (minus satu)

1. Diberikan segitiga ABC dengan \(\angle ACB=48^{\circ}\). Garis bagi \(\angle BAC\) memotong sisi BC dan lingkaran luar ABC berturut-turut di titik D dan E. Jika AC=AB+DE, maka \(\angle ABC=...\)

Pembahasan:

Kunci Jawaban: \(76^{\circ}\)

2. Misalkan p suatu bilangan prima sehingga terdapat pasangan bilangan asli (m,n) dengan n>1 yang memenuhi \(mn^{2}+mnp+m+n+p=mn+mp+np+n^{2}+2020\)

Semua nilai p yang mungkin adalah ...

Pembahasan:

Kunci Jawaban: 3, 43, 163

3. Misalkan P(x) suatu polinom sehingga \(P(x)+8x=P(x-2)+6x^{2}\). Jika P(1)=1, maka P(2)= ...

Pembahasan:

Kunci Jawaban: 9

4. Banyaknya tripel bilangan bulat (x, y, z) dengan \(0\leq x\leq y\leq z\) yang memenuhi persamaan x+y+z=32 adalah ...

Pembahasan:

Kunci Jawaban: 102

5. Misalkan ABC segitiga dan P, Q, R titik pada sisi BC, CA, AB. Jika luas segitiga ABC sama dengan 20 kali luas segitiga PQR dan \(\left ( \frac{AQ}{AC} \right )+\left ( \frac{BR}{BA} \right )+\left ( \frac{CP}{CB} \right )=1\), maka

\(\left ( \frac{AQ}{AC} \right )^{2}+\left ( \frac{BR}{BA} \right )^{2}+\left ( \frac{CP}{CB} \right )^{2}=...\)

Pembahasan:

Kunci Jawaban: \(\frac{9}{10}\)

6. Kwartet bilangan asli (a, b, c, d) dikatakan keren jika memenuhi \(b=a^{2}+1,\; c=b^{2}+1,\; d=c^{2}+1\) dan \(\tau (a)+\tau (b)+\tau (c)+\tau (d)\) bilangan ganjil. Banyaknya kwartet keren (a, b, c, d) dengan \(a,b,c,d< 10^{6}\) adalah ...

Catatan: Untuk bilangan asli k, \(\tau (k)\) menyatakan banyaknya faktor positif dari k.

Pembahasan:

Kunci Jawaban: 2

7. Misalkan a, b, b bilangan real tak negatif dengan a+2b+3c=1. Nilai maksimum dari ab+2ac adalah ...

Pembahasan:

Kunci Jawaban: \(\frac{1}{6}\)

8. Bilangan asli n terkecil sehingga n+3 dan 2020n+1 bilangan kuadrat sempurna adalah ...

Pembahasan:

Kunci Jawaban: 726

9. Lima tim bertanding satu sama lain dimana setiap dua tim bertanding tepat sekali. Dalam setiap pertandingan, masing-masing tim memiliki peluang 1/2 untuk menang dan tidak ada pertandingan yang berakhir seri. Peluang bahwa setiap tim menang minimal sekali dan kalah minimal sekali adalah ...

Pembahasan:

Kunci Jawaban: \(\frac{544}{1024}\; atau\; \frac{17}{32}\)

10. Misalkan H adalah titik tinggi dari segitiga lancip ABC dan P adalah titik tengah CH. Jika AP=3, BP=2 dan CP=1, maka panjang sisi AB adalah ...

Catatan: Titik tinggi suatu segitiga adalah perpotongan ketiga garis tinggi dari segitiga tersebut.

Pembahasan:

Kunci Jawaban: \(\sqrt{11}\)