Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan antara sudut trigonometri. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudutnya, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dapat berupa derajat yang berada pada rentang $0^{\circ}$ sampai dengan $360^{\circ}$ atau berupa radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.

Persamaan trigonometri bentuk Sinus

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sinus dapat ditentukan dengan cara:

$sin\;x = sin\;\alpha$

penyelesaiannya adalah

$x=\alpha +k.360^{\circ}$ atau $x=\alpha +k.2\pi$

dan 

$x=(180^{\circ}-\alpha) +k.360^{\circ}$ atau $x=(\pi -\alpha) +k.2\pi$

dengan $k\;\epsilon$ bilangan bulat

Contoh:

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dari $sin\;x = sin\;60^{\circ}$ dengan $0^{\circ}<x<360^{\circ}$

penyelesaian:

$sin\;x = sin\;60^{\circ}$

$x=\alpha +k.360^{\circ}$

$x=60^{\circ} +k.360^{\circ}$

untuk k=0 maka $x=60^{\circ} +0.360^{\circ}=60^{\circ}$ (Memenuhi $0^{\circ}<x<360^{\circ}$)

untuk k=1 maka $x=60^{\circ} +1.360^{\circ}=60^{\circ}+360^{\circ}=420^{\circ}$ (Tidak Memenuhi $0^{\circ}<x<360^{\circ}$)

$x=(180^{\circ}-\alpha) +k.360^{\circ}$ 

$x=(180^{\circ}-60^{\circ}) +k.360^{\circ}$ 

untuk k=0 maka $x=(180^{\circ}-60^{\circ}) +0.360^{\circ}=120^{\circ}$ (Memenuhi $0^{\circ}<x<360^{\circ}$)

untuk k=1 maka $x=(180^{\circ}-60^{\circ}) +1.360^{\circ}=120^{\circ}+360^{\circ}=480^{\circ}$ (Tidak Memenuhi $0^{\circ}<x<360^{\circ}$)

$HP=\left \{ x|x=60^{\circ}, 120^{\circ} \right \}$

Persamaan trigonometri bentuk Cosinus

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk Cosinus dapat ditentukan dengan cara:

$cos\;x = cos\;\alpha$

penyelesaiannya adalah

$x=\alpha +k.360^{\circ}$ atau $x=\alpha +k.2\pi$

dan

$x=-\alpha +k.360^{\circ}$ atau $x=-\alpha +k.2\pi$

dengan $k\;\epsilon$ bilangan bulat

Contoh:

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dari $cos\;x = cos\;\frac{\pi }{4}$ dengan $0<x<2\pi$

penyelesaian:

$cos\;x = cos\;\frac{\pi }{4}$

$x=\alpha +k.2\pi$

$x=\frac{\pi }{4} +k.2\pi$

untuk k=0 maka $x=\frac{\pi }{4} +0.2\pi=\frac{\pi }{4}$ (Memenuhi $0<x<2\pi$)

untuk k=1 maka $x=\frac{\pi }{4} +1.2\pi=\frac{\pi }{4}+2\pi=\frac{9\pi }{4}$  (Tidak Memenuhi $0<x<2\pi$)

$x=-\alpha +k.2\pi$

$x=-\frac{\pi }{4} +k.2\pi$

untuk k=0 maka $x=-\frac{\pi }{4} +0.2\pi=-\frac{\pi }{4}$  (Tidak Memenuhi $0<x<2\pi$)

untuk k=1 maka $x=-\frac{\pi }{4} +1.2\pi=-\frac{\pi }{4} +2\pi=\frac{7\pi }{4}$  (Memenuhi $0<x<2\pi$)

$HP=\left \{ x|x=\frac{\pi }{4}, \frac{7\pi }{4} \right \}$

Persamaan trigonometri bentuk Tangen

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk Tangen dapat ditentukan dengan cara:

$tan\;x = tan\;\alpha$

penyelesaiannya adalah 

$x=\alpha +k.180^{\circ}$ atau $x=\alpha +k.\pi$

dengan $k\;\epsilon$ bilangan bulat

Contoh:

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dari $tan\;x = tan\;30^{\circ}$ dengan $0^{\circ}<x<360^{\circ}$

penyelesaian:

$tan\;x = tan\;30^{\circ}$

$x=\alpha +k.180^{\circ}$

$x=30^{\circ} +k.180^{\circ}$

untuk k=0 maka $x=30^{\circ} +0.180^{\circ}=30^{\circ}$ (Memenuhi $0^{\circ}<x<360^{\circ}$)

untuk k=1 maka $x=30^{\circ} +1.180^{\circ}=30^{\circ}+180^{\circ}=210^{\circ}$ (Memenuhi $0^{\circ}<x<360^{\circ}$)

untuk k=2 maka  $x=30^{\circ} +2.180^{\circ}=30^{\circ}+360^{\circ}=390^{\circ}$ (Tidak Memenuhi $0^{\circ}<x<360^{\circ}$)

$HP=\left \{ x|x=30^{\circ}, 210^{\circ} \right \}$