Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat perbandingan antara sudut trigonometri. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudutnya, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dapat berupa derajat yang berada pada rentang \(0^{\circ}\) sampai dengan \(360^{\circ}\) atau berupa radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.

Persamaan trigonometri bentuk Sinus

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sinus dapat ditentukan dengan cara:

\(sin\;x = sin\;\alpha\)

penyelesaiannya adalah

\(x=\alpha +k.360^{\circ}\) atau \(x=\alpha +k.2\pi\)

dan 

\(x=(180^{\circ}-\alpha) +k.360^{\circ}\) atau \(x=(\pi -\alpha) +k.2\pi\)

dengan \(k\;\epsilon\) bilangan bulat

Contoh:

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dari \(sin\;x = sin\;60^{\circ}\) dengan \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\)

penyelesaian:

\(sin\;x = sin\;60^{\circ}\)

\(x=\alpha +k.360^{\circ}\)

\(x=60^{\circ} +k.360^{\circ}\)

untuk k=0 maka \(x=60^{\circ} +0.360^{\circ}=60^{\circ}\) (Memenuhi \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\))

untuk k=1 maka \(x=60^{\circ} +1.360^{\circ}=60^{\circ}+360^{\circ}=420^{\circ}\) (Tidak Memenuhi \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\))

\(x=(180^{\circ}-\alpha) +k.360^{\circ}\) 

\(x=(180^{\circ}-60^{\circ}) +k.360^{\circ}\) 

untuk k=0 maka \(x=(180^{\circ}-60^{\circ}) +0.360^{\circ}=120^{\circ}\) (Memenuhi \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\))

untuk k=1 maka \(x=(180^{\circ}-60^{\circ}) +1.360^{\circ}=120^{\circ}+360^{\circ}=480^{\circ}\) (Tidak Memenuhi \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\))

\(HP=\left \{ x|x=60^{\circ}, 120^{\circ} \right \}\)

Persamaan trigonometri bentuk Cosinus

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk Cosinus dapat ditentukan dengan cara:

\(cos\;x = cos\;\alpha\)

penyelesaiannya adalah

\(x=\alpha +k.360^{\circ}\) atau \(x=\alpha +k.2\pi\)

dan

\(x=-\alpha +k.360^{\circ}\) atau \(x=-\alpha +k.2\pi\)

dengan \(k\;\epsilon\) bilangan bulat

Contoh:

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dari \(cos\;x = cos\;\frac{\pi }{4}\) dengan \(0<x<2\pi\)

penyelesaian:

\(cos\;x = cos\;\frac{\pi }{4}\)

\(x=\alpha +k.2\pi\)

\(x=\frac{\pi }{4} +k.2\pi\)

untuk k=0 maka \(x=\frac{\pi }{4} +0.2\pi=\frac{\pi }{4}\) (Memenuhi \(0<x<2\pi\))

untuk k=1 maka \(x=\frac{\pi }{4} +1.2\pi=\frac{\pi }{4}+2\pi=\frac{9\pi }{4}\)  (Tidak Memenuhi \(0<x<2\pi\))

\(x=-\alpha +k.2\pi\)

\(x=-\frac{\pi }{4} +k.2\pi\)

untuk k=0 maka \(x=-\frac{\pi }{4} +0.2\pi=-\frac{\pi }{4}\)  (Tidak Memenuhi \(0<x<2\pi\))

untuk k=1 maka \(x=-\frac{\pi }{4} +1.2\pi=-\frac{\pi }{4} +2\pi=\frac{7\pi }{4}\)  (Memenuhi \(0<x<2\pi\))

\(HP=\left \{ x|x=\frac{\pi }{4}, \frac{7\pi }{4} \right \}\)

Persamaan trigonometri bentuk Tangen

Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk Tangen dapat ditentukan dengan cara:

\(tan\;x = tan\;\alpha\)

penyelesaiannya adalah 

\(x=\alpha +k.180^{\circ}\) atau \(x=\alpha +k.\pi\)

dengan \(k\;\epsilon\) bilangan bulat

Contoh:

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri dari \(tan\;x = tan\;30^{\circ}\) dengan \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\)

penyelesaian:

\(tan\;x = tan\;30^{\circ}\)

\(x=\alpha +k.180^{\circ}\)

\(x=30^{\circ} +k.180^{\circ}\)

untuk k=0 maka \(x=30^{\circ} +0.180^{\circ}=30^{\circ}\) (Memenuhi \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\))

untuk k=1 maka \(x=30^{\circ} +1.180^{\circ}=30^{\circ}+180^{\circ}=210^{\circ}\) (Memenuhi \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\))

untuk k=2 maka  \(x=30^{\circ} +2.180^{\circ}=30^{\circ}+360^{\circ}=390^{\circ}\) (Tidak Memenuhi \(0^{\circ}<x<360^{\circ}\))

\(HP=\left \{ x|x=30^{\circ}, 210^{\circ} \right \}\)