Determinan, Invers, dan Transpose Matriks

Determinan Matriks

Determinan matriks adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi.

Determinan matriks berordo \(2\times 2\)

Determinan matriks \(A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\) ditentukan dengan \(det(A)=\left | A \right |=ad-bc\)

Contoh:

1. Hitunglah nilai determinan matriks \(B=\begin{pmatrix}3 & 4\\ -2 & 5\end{pmatrix}\)

Penyelesaian:

\(det(B)=\left | B \right |=(3)(5)-(4)(-2)=15-(-8)=15+8=23\)

Invers Matriks

Invers matriks adalah kebalikan operasi perkalian dari matriks persegi.

Defenisi:

Jika matriks A dan B adalah matriks persegi sedemikian sehingga AB=BA=I maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B.

Invers matriks berordo \(2\times 2\)

Invers matriks \(A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\) ditentukan dengan \(A^{-1}=\frac{1}{det(A)}(adjoin (A))=\frac{1}{\left | A \right |}(adj (A))=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}\)

Contoh:

1. Tentukan invers dari matriks \(C=\begin{pmatrix}2 & 6\\ 1 & 5\end{pmatrix}\)

Penyelesaian:

\(C^{-1}=\frac{1}{det(C)}(adjoin (C))\)

\(C^{-1}=\frac{1}{\left | C \right |}(adj (C))\)

\(C^{-1}=\frac{1}{(2)(5)-(6)(1)}\begin{pmatrix}5 & -6\\ -1 & 2\end{pmatrix}\)

\(C^{-1}=\frac{1}{10-6}\begin{pmatrix}5 & -6\\ -1 & 2\end{pmatrix}\)

\(C^{-1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}5 & -6\\ -1 & 2\end{pmatrix}\)

\(C^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{5}{4} & -\frac{6}{4}\\ -\frac{1}{4} & \frac{2}{4}\end{pmatrix}\)

Transpose Matriks

Transpose matriks adalah sebuah matriks baru yang terbentuk dari pertukaran tempat baris dan kolom pada matriks awal. 

Transpose matriks A dinotasikan dengan \(A^{T}\) atau \(A^{t}\)

Transpose matriks berordo \(2\times 2\)

Transpose matriks \(A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\) ditentukan dengan \(A^{T}=A^{t}=\begin{pmatrix}a & c\\ b & d\end{pmatrix}\)

Contoh:

1. Tentukan transpose matriks \(D=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}\)

Penyelesaian:

\(D^{T}=D^{t}=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 2 & 4\end{pmatrix}\)